Método de Castigliano

	En esta oportunidad estaremos hablando un poco sobre el teorema de Castigliano, explicaremos como resolverlo y cuáles son sus aplicaciones y formulas, a medida que vayamos avanzando se te será más fácil entenderlo y así poder usarlo a la hora de estudiar este método. Teorema de castigliano

Este se aplica a estructuras que son de configuraciones isostáticas,  esto lo comprobamos a través del estudio de criticidad, conteo de barras, nudos y apoyos, también se hace el estudio de exhaustivo, este es un análisis más a fondo, luego calculamos las fuerzas internas de la estructura a través del método de los nodos, una vez comprobado se nos pedirá calcular el desplazamiento en X punto de la estructura, es allí cuando aplicamos el Teorema de castigliano.

Estudio de criticidad:

Como lo habíamos mencionado anteriormente, este estudio consiste en el conteo de los nudos, barras y apoyos, mediante el cual se determinará si la estructura que estamos estudiando es:

v  Posiblemente Hiperestática                                            2N – A < B 

v  Posiblemente Mecanismo                                               2N – A > B

v  Posiblemente Isostática                                                   2N – A = B

N = números de nodos

B = números de barras

A = números de apoyos

 Ecuación:

  

∆= Desplazamiento.

P-Q = Fuerzas externas.

Ti = Tensiones o fuerzas internas causadas por las cargas de la armadura.

L = Longitud de un elemento (Barras).

A = Área de la sección transversal.

E = Modulo de elasticidad. 

= Se aplica la deriva parcial respecto al desplazamiento correspondiente que se esté evaluando ya sea horizontal (P) o vertical (Q).

Procedimiento de análisis del método de Castigliano

v  Se colocan las fuerzas P y Q donde deseamos calcular el desplazamiento o en este caso dónde se nos pida calcularlo.

v  Se determinan las fuerzas internas de la estructuras, ya sean tensiones o cargas reales (numéricas).

v  Las cargas positivas se consideran a tensión y las negativas a compresión.

v  Calcular las derivadas parciales con respecto a “P” y “Q” utilizando la ecuación del Teorema de Castigliano.

v  Al determinar las derivadas parciales se procede a sustituir los valores de “P” y “Q”, si no poseen valores se asumen = o (cero).

v  Los signos de P,Q nos indican la dirección de la fuerza.

EJERCICIO

Calcular el corrimiento horizontal y vertical del nudo “C” para cuando el producto AE = 25000 y el  ángulo α es 45º.

Por método de nudos, barras y apoyos tenemos, que:

   

nudos=6               2n-a=b

    barras=9              2(6)-3=9

apoyos=3                9=9

Debido al resultado, la estructura posiblemente es isostática.

Análisis Exhaustivo

ü  Debido a la yuxtaposición de triángulos que posee la estructura, internamente podemos decir que internamente es isostática.

ü  Por su configuración de apoyos isostáticos, externamente la estructura es isostática.

En conclusión, la estructura seguramente es isostática.

Diagrama de cuerpo libre

+→∑F_X=0                   +↑∑F_Y=0

    

   -P+D_X=0                     Q+D_Y+A_Y-15-20=0

     

  

   D_X=P                         Q+D_Y+A_Y=35

+∑M_D=0

  

  -4Q+4(15)+4P-8A_Y=0

   

  A_y = 0,5(P-Q)+7,5                                 

 Nodo A

+↑∑F_y = 0

Ay + T_ABsen(36.869) = 0

T_AB= -1,6667ay

T_AB= -0.8334 (P-Q) - 12.5003     Tensión barra 1

+→∑F_x = 0

T_AF + T_ABcos(36.869)= 0

T_AF = -0,8T_AB

T_AF = 0.6667 (P-Q) + 10,0002     Tensión barra 6

  Ya conociendo la resolución de un nudo se puedo proceder a la resolver cada uno de los restantes para la obtención de la tensión de cada barra de la estructura.

En la siguiente tabla podemos ver el valor de las tensiones de cada barra:

  Ahora se procede a conseguir la longitud de cada barra, y aplicamos la ecuación del teorema de castigliano, teniendo por resultado:

Para lo cual, el desplazamiento vertical y horizontal obtenido son:

Δhorizontal= 0,0048m o 4,8mm

Δvertical= -0,006m o -6mm

Método de Castigliano