Teorema de Castigliano

¡Hola, en esta ocasión hablaremos en nuestro blog sobre el método de Castigliano!

Principalmente el teorema de Castigliano establece que cuando actuan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos "Fuerza" y "Desplazamiento"  han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares.

• La ecuación para hallar dicho desplazamiento mediante la fuerza ejercida en un punto cualquiera de la estructura es la siguiente:

Dicho esto es importante hallar las incógnitas de la ecuación para el desarrollo de la misma, lo cual está integrada por las siguientes variables:

•   T: Tensiones en las barras de la estructura.
•   L: Longitud de la barra.
• AE: Régimen elástico.
• dT/ dP/Q: Derivada parcial respecto a la deformación en P/Q.  

Cuando se habla de estructura nos referimos a todas aquellas partes que se ordenan dentro de un todo.

Entre estas partes a estudiar tenemos:

•  Apoyos.
• Nodos.
• Barras.

Dependiendo la naturaleza de la estructura en primordial hacer un análisis exhaustivo para conocer el comportamiento que tendrá la misma al aplicarle dicha carga. 

Una vez conocida la naturaleza de ella procedemos al desarrollo del teorema separando la estructura en partes o secciones para conocer cada una de sus reacciones y tensiones en la barras que pueda presentar, aplicando Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

Estudiemos el siguiente ejemplo implementando lo ya antes mencionado para asi conocer un poco mas sobre el teorema 

• Calcular el corrimiento total del nodo C en centímetros (cm) asumiendo el régimen elástico y el producto AE= 50000 kg.

El primer paso que debemos realizar ante la resolución del ejercicio es el estudio de la criticidad lo que nos dará como respuesta la naturaleza de la estructura arrojando su posibilidad de resolución de la siguiente manera. 

• Se observa el N° de Nodos Barras y Apoyos que presenta. 

Arrojando lo siguiente:

n = 4.

b = 5.             2(n) - a = b.

a = 3.             2(4) - 3 =5. 

Se puede concluir que la estructura es posiblemente isostática.

No obstante sabiendo que tiene  yuxtaposición de triángulos y por condiciones de los apoyos podemos decir que la estructura es seguramente isostática.

Por consiguiente procedemos hacer el estudio del DCL para conocer el valor de las reacciones,  es necesario asignar las cargas P y Q las cuales son cargas agregadas por lo tanto son iguales a cero (0) en el punto de deformación para así hallar el corrimiento de la estructura y dar respuesta al teorema de Castigliano.

Quedando de la siguiente manera:

En este mismo orden de ideas procedemos hacer el estudio nodal para conocer cada una de las tensiones en las barras de la estructura. En la siguiente imagen se muestra como quedaría dicho estudio.  

En el siguiente video encontraras detenidamente el valor de las tensiones y cadas unos de los pasos a realizar para la resolución final del ejercicio planteado.