Resolución de estructuras articuladas planas mediante el teorema de Castigliano

MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS

Para calcular un movimiento de un nodo de una estructura articulada, es recomendable aplicar el teorema de Castigliano. Este se aplica a estructuras que son de configuraciones isostáticas, siendo esto determinado mediante del estudio de criticidad, lo que consecuentemente nos llevará al cálculo de las fuerzas internas de la estructura (previamente cargada de dos fuerzas P y Q en el punto deseado), a través del método de los nodos, para así poder determinar el desplazamiento en X punto de la estructura con la siguiente ecuación del Teorema de Castigliano:

Siendo para caja eje:

Donde:

T = tensión en la barra

L = longitud de la barra
A = área de la barra
E = módulo de elasticidad del material

P = fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección del eje x buscada

Q = fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección del eje y buscada

ESTUDIO DE CRITICIDAD

Este estudio consiste en el conteo de los nudos, barras y apoyos previo al comienzo de la resolución del ejercicio, haciéndose posible determinar si la estructura que estamos estudiando es:

·         Posiblemente Hiperestática                                            2N – A < B 

·         Posiblemente Mecanismo                                               2N – A > B

·         Posiblemente Isostática                                                   2N – A = B

Donde:

N = números de nodos

B = números de barras

A = números de apoyos

EJERCICIO

Calcular el corrimiento total del nodo C en centímetros, asumiendo el régimen elástico AE = 20.000 kg

Primeramente se realiza el estudio de estaticidad:

N = 4                                    2(N) - A

B = 5                                    2(4) - 3

A = 3                                    5 = B 

Entonces, podemos deducir que la estructura es posiblemente isostática

Realizado este estudio, se procede a realizar un diagrama de cuerpo libre de la estructura y así poder determinar sus ecuaciones fundamentales:

Una vez encontrada la ecuación de la tensión de la barra AB, se procede mediante inspección visual, a elegir un determinado nodo donde se facilite la obtención de las ecuaciones faltantes. Por este planteamiento, se procede a determinar las ecuaciones fundamentales en el nodo B.

Una vez encontradas las ecuaciones de las tensiones de las barras 2 y 5. Se realiza el mismo procedimiento con los nodos E y D, obteniendo las ecuaciones respectivas de las tensiones de las barras 4 y 3.

Finalizado este procedimiento y, como el ejercicio exige, se debe obtener el corrimiento total de la estructura en determinado punto. Siendo consecuentes a este planteamiento, se debe proceder a encontrar el corrimiento en cada uno de los ejes (X y Y). En este caso, se comenzará con el eje X con la sumatoria de cada una de las barras de la estructura:

Una vez determinado el valor del corrimiento en el punto C del eje X, se realiza lo propio con el corrimiento del eje Y:

Encontrados estos valores, se acerca el final del ejercicio, lo que conlleva a que si se pide el corrimiento total, se deberá realizar la suma cuadrática de ambos v

alores encontrados para así determinar lo solicitado de la siguiente manera:

A continuación, se anexa el siguiente video para facilitar la comprensión del ejercicio planteado, haciendo énfasis principalmente en la aplicación del teorema mencionado: